原子力显微镜 (AFM：Atomic Force Microscope) 自被发明以来，一直在不断被完善。从最初的静态 AFM 发展到如今各式各样的动态 AFM，已经成为纳米科学和纳米材料领域研究的有力工具。尽管 AFM 在成像能力方面表现的已足够出色，并得到了广泛的应用，但其在定量表征方面仍然存在众多挑战。而同一种材料在纳米尺度下的性能，与在宏观尺度相比，存在很多差异。材料的组成是影响其力学性能的重要因素，微结构的细节对其预期寿命也会产生很大影响。随着纳米技术的飞速发展，以及各类新型材料的不断应用，在纳米尺度下对材料的各类性能参量特别是是力学性能进行表征显得尤为重要，包括对材料摩擦、表面黏弹性、黏附等性能参量的表征。此外，新材料的不断出现，也对材料内部结构、缺陷、杂质等的无损检测提出了要求。

    在此背景下，本论文针对 AFM 分辨率的提高和材料性能的振动力学反演两大关键科学问题展开，围绕 AFM 悬臂梁结构设计和利用 AFM 对材料性能相关力学参量定量表征两个方面，通过理论分析和数值求解，采用反问题的方法开展研究工作。首先基于共振放大效应，增强了 AFM 的高阶谐波信号；然后建立了 AFM 振动信号与样品弹性模量、基体内部填充结构弹性模量等一些力学性能之间的定量关系，为利用 AFM 表征材料相关力学参量提供了理论基础。主要完成的工作如下：

     (1) 增强了 AFM 的高阶谐波信号。在 AFM 中，样品性能信息更多地包含在高阶谐波信号中。然而均匀矩形悬臂梁不存在恰好为基频整数倍的高阶频率，因而其高阶谐波信号被抑制，从而导致样品的性能难以被探测。本文以增强高阶谐波信号为目标，建立并求解了悬臂梁的运动方程。设计了阶梯型悬臂梁结构和 T 型悬臂梁结构，调谐其固有频率，使其第二阶或第三阶自然频率为基频的整数倍，基于共振放大效应，同时对前两阶或前三阶模态进行激发，实现了高阶谐波信号的增强。同时给出了可供参考的悬臂梁尺寸图和表。

   (2) 提出并求解了反问题：如何依据压痕深度–载荷曲线，同时获取薄膜等效杨氏模量和厚度。在压痕实验中，薄膜/衬底双层异质结构的等效杨氏模量会随压痕深度的变化而变化。在以往的研究中，只存在一个未知量，即薄膜等效杨氏模量。然而在实际情况中，薄膜厚度的测量有时是非常困难的，甚至无法被测量。因此在反问题中将薄膜的厚度和等效杨氏模量均视为未知量并对其进行了求解。

     (3) 提出了一种定量测定样品杨氏模量和泊松比的有效方法。建立了 T 型悬臂梁在接触模式下，弯扭耦合非线性振动理论模型。随着接触刚度的增加，接触共振频率在高阶模态下出现分岔现象。利用共振频率分岔点解耦了等效杨氏模量表达式中的泊松比和杨氏模量。

     (4) 分析了超声波遇到圆柱形以及椭圆柱形障碍物时发生散射所引起的相位变化，建立了 AFM 悬臂梁探针与样品表面相互作用的非线性振动理论模型，得到了共振差频 AFM 的相位信号的解。研究了材料内部填充结构的尺寸、埋深、弹性模量以及超声激励频率等对相位对比度的影响。

    本文深入地研究了 AFM 的动力学问题，通过反问题方法，建立了 AFM 信号与相关材料力学性能间的定量关系，为利用 AFM 对材料的力学性能进行定量表征提供了理论基础与参考。