非平坦底部地形存在时重力作用下自由表面波和界面波的演化问题是物理世界中常见的问题，涉及的现象包括海底地震和滑坡引起的海啸、地形作用下的海洋内波的生成与演化、高耸山峰对大尺度大气运动的影响等。地形的存在使得单层流体的自由表面和不同密度流体交界处的界面波呈现出更加丰富的物理现象。为了深入对相关问题的理解，本文采用理论分析与数值模拟相结合的方法，对重力和非平坦地形作用下自由表面波和界面波的演化问题开展了研究。
       首先，对均匀流通过静止非平坦地形时自由表面波的演化问题进行研究，分别通过线性分析、弱非线性分析和对完全非线性Euler 方程的数值求解，探讨了当底部地形中包含多个障碍物时自由表面波的演化规律，重点考虑了跨临界速度下多个底部障碍物存在时自由表面波在底部障碍物之间的区域的演化规律，发现来流的流速、底部障碍物尺寸对流动的决定作用，进一步探索了完全非线性Euler 方程的结果与fKdV 方程的异同，为认识特定区域的水波演化行为提供了基础。
       其次，进一步拓展了随时间变化的非平坦底部地形引起的表面波问题的线性理论解和数值求解方法。在线性色散理论下，推导了当底部的非平坦地形为变速运动时流场的解析解，并拓展了当底部地形的高度随时间变化时流场的解析解。另一方面，通过数值求解Boussinesq 方程和完全非线性Euler 方程研究了考虑非线性效应和底部地形的变速运动时系统能量的演化规律。对于完全非线性Euler 方程的求解，拓展了时间依赖的保形映射方法，用以求解底部非平坦地形随时间变化的水波问题。在此基础上，进一步探讨了非平坦底部地形为变速运动时孤立波的产生规律，发现了当底部地形的速度曲线通过1 时，便有孤立波产生。
       第三，本文进一步考虑了流体的分层效应，以两层流体为模型研究了两层流体界面处水跃解的特性。首先从线性理论和弱非线性理论分析出发，对流动按照上下层流体的深度比和上游的Froude 数进行区域划分；进一步探讨了不同区域中不同类型底部地形存在时水跃解的特性，发现底部地形的类型和尺寸会对稳定解产生一定的影响；研究了多个底部障碍物存在时陷波的发展规律，发现底部障碍物间陷波的波长仅取决于原点处的底部障碍物的类型与特征尺寸。
       最后，本文探讨了非平坦地形在大尺度大气流动中的作用，选取了赤道区域作为研究对象，深入研究了不同类型赤道浅水波之间的相互作用规律和地形效应。首先，通过多尺度分析推导了控制赤道区域大气浅水波间相互作用规律的模型方程组，并通过数值求解原始方程组和模型方程组验证了模型，提供了一种关于Yanai 波产生规律的新解释；此外，进一步考虑了不同类型的赤道波初始时刻的相对振幅大小、相位关系对相互作用规律的影响，发现了初始时刻异相会导致波之间更强的能量交换；在此基础上，进一步考虑了地形效应，发现特定的地形
可以与Kelvin 波发生相互作用。