复杂流场中存在的各种间断结构, 如激波、接触间断和界面, 为高精度数值求 解方法的发展带来了各种不同的挑战性问题。加权基本无振荡 (Weighted Essentially Non-Oscillatory, WENO) 格式是近三十年来高精度激波捕捉格式的突出代 表, 但在光滑区域其内在的数值耗散常会掩盖真实的物理耗散, 对接触间断和界 面的分辨仍有待提高。近年来, 基于边界变差最小化 (Boundary Variation Diminishing, BVD) 及双曲正切函数的界面捕捉方法 (Tangent of Hyperbola for INterface Capturing, THINC) 由于具有较高的界面分辨率而在相关领域得到较大的关注。 本文通过发展相关的数学物理分析方法, 研究综合性能更好的高效高分辨率间断 捕捉算法。主要研究工作如下： (1) 推广发展了用于分析非线性格式频谱性质 (色散和耗散) 的近似色散关系 (Approximate Dispersion Relation, ADR) 方法, 该方法能有效抑制原方法分析非线 性格式产生的混淆误差。利用新方法研究了现有 THINC 格式的频谱特性, 除了 具有 TVD 格式的一些特性外, 如限制器形式和在极值点降阶等, 本文研究进一步 表明, 在双曲函数中引入的陡度参数, 其变化主要影响波数区域的中间部分。当 陡度参数大于临界值时, 保对称 THINC (SP-THINC) 格式将产生反耗散和反色散 性质; 而对保单调 THINC (MP-THINC) 格式, 陡度参数大到一定值后将从反耗散 转为正耗散。 (2) 提出和发展了基于一般 S 型函数的界面捕捉算法 (Sigmoid Functions for INterface Capturing, SFINC)。通过比较研究, 发现连续性的 S 型函数均可用于构 造界面值的重构方法, 其中双曲幅角函数具有更良好的综合性质 (无振荡及锐利 的间断解)。结合单级 BVD 原则, 发展了 SFINC-BVD 算法。与 WENO 和 THINCBVD 格式相比, 新方法提高了激波、膨胀波和接触间断的分辨率, 有效避免了间 断附近产生非物理解。 (3) 研究了黎曼求解器对多级 BVD 算法的影响。使用 HLL (Harten-Lax-van Leer) 和 AUSM (Advection Upstream Splitting Method) 黎曼求解器, 对多级 BVD 算 法进行比较研究。将 HLL 格式的对流项和压力项分开处理, 发现 HLL 格式的压 力项在亚声速区域引入了额外的数值耗散。将 AUSM 类格式作为近似黎曼求解 器能够更好地模拟极值点和接触间断, 展现更丰富的小尺度结构。 (4) 结合边界变差分析了几种典型黎曼求解器的耗散特征, 提出了修正的 BVD 算法: 即在原边界变差的计算中, 考虑马赫数效应及黎曼求解器中引入的 特征速度效应, 利用此变差最小化实现了新的算法。数值算例表明新算法能有效 抑制原 BVD 算法在实际问题中可能出现的非物理过冲现象。 (5) 提出和发展了可压缩欧拉方程局部特征场分解的混合重构方法。可压缩 欧拉方程的特征值系统, 其局部特征场可以分解为两个本质非线性场和其余的线 性退化场。根据两类特征场的数学物理性质, 本文提出对非线性场采用鲁棒性较好的 WENO 重构, 而对于线性退化场采用分辨率较高的 BVD 格式或其它低耗散 无振荡格式 (如 TENO 格式)。新方法既提高了接触间断和极值点的分辨率, 又能 有效抑制激波附近出现的振荡和过冲。 (6) 提出了一致三阶和一致四阶精度的两级 BVD 算法。将 PmTn-BVD (m 阶 多项式 n 级 BVD) 算法推广发展了三阶 P2T2-BVD, 与高阶 BVD 格式相比, 低阶 格式具有较好的稳定性和较强的鲁棒性, 但与三阶 WENO 格式类似, P2T2-BVD 格式在二阶临界点只有二阶精度。因此本文在 P4T2-BVD 格式的框架下, 提出 利用三点 2 阶多项式 (P2) 及四点 3 阶多项式 (P3) 重构取代第一级 BVD 选择中 的 P4 多项式重构, 获得了在前二阶临界点具有一致三阶精度的 (U3-BVD) 及前 三阶临界点具有一致四阶精度的 (U3-BVD) 二级 BVD 格式。与 P4T2-BVD 相比, U3-BVD 具有三阶迎风的性质, 具有较好的稳定性, 而 U4-BVD 则具有中心格式 的基本无耗散性质, 对高频波具有更好的分辨能力。 (7) 采用双曲正割函数代替 TENO 格式中的截断函数, 发展了耗散更低的三 阶 TENO 格式以及基于该格式的 TENO-T2-BVD 格式。不同于截断函数中完全 不考虑间断模板的贡献, 正割函数是一光滑函数, 通过适当的参数控制, 可以有效 增加次光滑模板的贡献, 从而能有效提高三阶 TENO 的分辨率。由于三阶 TENO 格式与 THINC 重构所使用的模板节点相同, 因此 TENO-T2-BVD 格式具有更好 的鲁棒性。通过数值算例验证了所发展算法的高精度高分辨率特性。 (8) 提出了一种三级四阶对角隐式龙格-库塔方法 (Diagonal Implicit RungeKutta, 简称 DIRK)。不但比传统的三级三阶显式龙格-库塔方法具有更大的稳定 区域, 可以求解带一定刚性的问题, 而且比已有的三级四阶对角隐式龙格-库塔方 法具有更高的精度。将该隐式时间积分方法与边界变差最小化算法结合, 线性对 流方程、非线性伯格斯方程和欧拉方程的数值结果都表明, 无论是在光滑区域, 还是在间断附近, 即便采用比较大的 CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) 数仍然能够 获得稳定和精确的解。